Probabilidades a partir de curvas de densidad

considera la siguiente curva de densidad aquí vemos esta curva de densidad que describe la distribución de probabilidad de una variable aleatoria continua esta variable aleatoria continua puede tomar valores que van desde 1 hasta 5 y tienen la misma probabilidad de tomar cualquiera de estos valores entre 1 y 5 encuentra la probabilidad de que x sea menor que 4 x va de 1 a 4 no existe la probabilidad de que sea menor que 1 y sabemos que toda el área bajo la curva de densidad es igual a 1 si podemos encontrar la fracción del área que coincide con nuestra restricción podremos responder la pregunta el área que nos interesa va de 1 a 4 y la razón por la que se comienza en 1 es porque no hay probabilidad alguna de que esta variable pueda tener un valor menor que 1 podemos verlo en la curva de densidad nos interesa conocer cuál es el área de aquí es un rectángulo cuya altura es 0.25 y cuya base es 1/2 el área es 0.25 por 3 que nos da 0.75 así que la probabilidad de que x sea menor que 4 es 0.75 o una probabilidad del 75% hagamos otro problema con una curva de densidad un poco más sofisticada el conjunto de medidas de las alturas de un grupo de estudiantes de secundaria tiene una distribución normal una media de 150 centímetros y una desviación estándar de 20 centímetros h es la altura de un estudiante elegido aleatoriamente encuentra e interpreta la probabilidad de que la variable h la altura de un estudiante elegido aleatoriamente sea mayor que 170 centímetros visualicemos primero la curva de densidad es una distribución normal nos dicen que la media es 150 centímetros la dibujamos y también nos dicen que tiene una desviación estándar de 20 centímetros la desviación estándar por arriba de la media es 170 y la desviación estándar debajo de la media es 130 centímetros y si elegimos aleatoriamente la altura de uno de estos estudiantes y queremos saber cuál es la probabilidad de que la altura sea mayor que 170 va a ser esta área bajo la curva de la distribución normal cómo podemos calcularla hay varias formas en las que podemos hacer esto sabemos que esta es el área por arriba de una desviación estándar por encima de la media podemos usar una tabla zeta o podemos usar el conocimiento general que se tiene sobre las distribuciones normales el área que se encuentra una desviación estándar por debajo de la media y una desviación estándar por arriba de la media es decir esta área de aquí es aproximadamente 68% que es cercana a 60 y 8.2 por ciento pero para nuestros propósitos está bien que usemos 68% del área a partir de la media y una desviación estándar por arriba de ella será la mitad de eso esto es aproximadamente 34 por ciento también sabemos que para una distribución normal el área por debajo de la media será de 50 por ciento lo que estamos señalando aquí así que el área combinada que se encuentra por debajo de 170 o debajo de una desviación estándar por arriba de la media será aproximadamente de 84 % esto nos ayuda a encontrar el área por arriba de una desviación estándar por arriba de la media que será la respuesta a nuestra pregunta toda el área bajo esta curva de densidad y bajo cualquier curva de densidad va a ser igual a 1 así que toda esta área es 1 esta área de aquí es 84 % 1.84 restamos 1 a esto y nos queda el área que nos interesa 1 - 0.84 aproximadamente lo que nos da aproximadamente punto 16 si quisieran usar un valor un poco más preciso pueden usar una tabla acepta el área por debajo de una desviación estándar arriba de la media será cercana a 84 puntos 1 % lo que nos dará esta respuesta como 0.159 que se acerca a 0.16 pero pueden ver que nos acercamos bastante a esta respuesta al conocer la regla general de que el área entre una desviación estándar por arriba de la media y una desviación estándar por debajo de la media es aproximadamente 68% para una distribución normal