Introducción a la inferencia acerca de la pendiente en una regresión lineal

en este vídeo vamos a hablar de rectas de regresión pero no es la primera vez que hablamos de rectas de regresión así que es la eia de recta de regresión que es ajena te encargó que veas los vídeos de introducción en esta ocasión quiero que pensemos en cómo hacer inferencias a partir de una recta de regresión ahora bien si la idea de inferencia estadística o de prueba de hipótesis te son ajenas una vez más también te encargó que veas esos vídeos y bueno digamos que existe una asociación positiva entre el número o el tamaño de un zapato y la altura así que haremos una gráfica en el eje horizontal tenemos el tamaño de los zapatos y pondremos algunos valores 21 centímetros 22 centímetros 23 centímetros 24 centímetros 25 centímetros 26 27 28 29 30 y 31 de 32 centímetros y podemos seguir y en el eje y pondremos la así que pongamos algunos valores un metro cuarenta un metro cincuenta un metro sesenta un metro setenta 180 190 dos metros y puedo seguir y seguir y seguir y ahora para ver si existe una asociación tomaremos una muestra así que tomaremos una muestra aleatoria de 20 personas de toda la población y en los vídeos siguientes hablaremos de las condiciones necesarias para hacer una inferencia apropiada digamos que estas 20 personas son estos 20 puntos tal vez aquí tengamos a un niño por acá a un adulto que tiene pies más grandes y es más alto y después tengo 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 puntos ya tenemos estos 20 datos representados como puntos y lo que nos gustaría hacer es meterlos en una computadora o también lo podremos hacer a mano aunque actualmente tenemos computadoras que lo hacen por nosotros la computadora intentará ajustar una recta de regresión y hay muchas técnicas para encontrarla pero una típica es en general intentar minimizar la distancia al cuadrado entre cada uno de estos puntos y la recta y esta recta de regresión tiene una ecuación como toda recta y estamos tentados a decir que es ye sombrero este sombrero nos dice que estamos hablando de una recta de regresión es igual a la ordenada al origen a más la pendiente multiplicada por nuestra variable x por lo tanto aquí está nuestra a ahora bien para ser muy claros si tomamos otra muestra entonces obtendremos una recta diferente es más podemos llamarle a la primera muestra y el subíndice uno a subíndice uno b subíndice uno y por lo tanto esta de aquí sería a subíndice uno pero imagina que tomamos otra muestra de 20 personas déjame ponerlas am 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 y 20 y ahora intentamos ajustar la una recta a estos puntos bueno esta recta se podría ver algo así podría tener una pendiente y una ordenada al origen ligeramente diferentes por lo tanto podríamos decir que para la segunda muestra tenemos una nueva recta que va a tener la ecuación lledó sombrero igual a 20 s 2 + b sobre índice de 2 por equis es decir cada vez que tomemos una muestra podemos obtener resultados diferentes para estos valores que esencialmente son estadísticos recuerda los estadísticos son cosas que podemos obtener de las muestras y que intentan estimar los parámetros poblacionales verdaderos pero en este caso cuáles serían los parámetros poblacionales verdaderos que queremos estimar bueno imagina un mundo en donde somos capaces de encontrar la relación lineal verdadera o no sé tal vez exista una relación lineal verdadera entre el tamaño del zapato y la estatura y bueno en teoría esta la podríamos obtener si pudiéramos medir a todos los seres humanos del planeta y para anclar dependiendo de cómo definas una población ya que podrían ser todas las personas vivas en el planeta o todas las personas que hayan vivido en el planeta tierra no lo sé esto empieza a parecer no tan práctico pero digamos que podemos entonces tendremos miles de millones de puntos para una población verdadera ahora si quisiéramos ajustar una recta de regresión podríamos pensarla como la recta de regresión verdadera para la población esta sería sombrero igual am y para ser claros que esta es la ordenada al origen y está la pendiente que son nuestros parámetros poblacionales verdaderos en lugar de poner a am pongamos alfa en lugar de poner a b pongamos beta alfa más beta x pero es muy difícil saber con exactitud los valores de alta y de beta y por eso los estimamos con las ips con base en una muestra ahora lo que es interesante teniendo esto en mente es que podemos empezar a hacer inferencias con base en nuestra muestra por ejemplo podemos decir que b 2 es poco probable que sea exactamente igual a beta pero con qué confianza podemos decir que al menos existe una relación lineal positiva o una relación lineal distinta de cero o podemos crear un intervalo de confianza alrededor de este estadístico que nos dé una buena idea de dónde está el parámetro poblacional verdadero bueno la respuesta es sí para lograrlo usemos las mismas ideas que trabajamos con inferencias con base en proporciones o con bases medias la forma en la que podemos hacer una inferencia por ejemplo para la pendiente verdadera de esta recta de regresión poblacional será primero tomar la muestra obtener la pendiente como por ejemplo b sub 20 es de 2 y después crear un intervalo de confianza alrededor de ese parámetro por lo tanto nuestro intervalo de confianza estará basado en algún valor crítico x idealmente la desviación estándar de la distribución muestral para este estadístico que en este caso será la pendiente de la recta de la regresión muestral pero como no sabemos con exactitud cuál es este valor no lo sabemos de una manera precisa para nuestra muestra entonces lo vamos a estimar con lo que se conoce como el error estándar del estadístico y vamos a profundizar en esta idea en vídeos futuros y como aquí estamos estimando vamos a usar aquí un valor t crítico los cuales hemos estudiado anteriormente ahora con base en el nivel de confianza que queremos tener digamos un 95 por ciento y en los grados de libertad que vamos a ver que salen de cuántos datos tenemos podemos encontrar este valor y a partir de nuestra muestra podemos encontrar este otro valor y también este otro y ya con esto podemos construir un intervalo de confianza también veremos qué podemos hacer pruebas de hipótesis podemos decir que nuestra hipótesis nula es que no hay una relación lineal distinta de cero o que la pendiente verdadera de la recta de regresión poblacional es igual a cero y la hipótesis alternativa será que la pendiente verdadera de la recta de regresión poblacional es mayor que cero en el caso de tener una relación positiva o que es distinta de cero y después lo que haremos será suponiendo que la hipótesis no le es verdadera podemos buscar cuál es la probabilidad de obtener que este estadístico sea al menos tan extremo o más extremo que este valor de 2 y si esa probabilidad está por debajo de un cierto umbral rechazaremos la hipótesis nula y sugeriremos la alternativa así que estos dos pasos ya los hemos hecho anteriormente en donde creamos un intervalo de confianza alrededor de este estadístico o donde llevamos a cabo una prueba de hipótesis haciendo suposiciones acerca de un parámetro verdadero la única diferencia aquí es que el parámetro que estamos tratando de estimar serán los parámetros para una recta de regresión poblacional teórica y lo haremos usando estos estadísticos muestrales para una recta de regresión muestral en fin continuaremos con todo esto en el siguiente vídeo