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Curso: Cálculo avanzado 2 (AP Calculus BC) > Unidad 8
Lección 2: Conectar con integrales funciones de posición, velocidad y aceleración- Problemas de movimiento con integrales: desplazamiento vs. distancia
- Analizar problemas de movimiento: posición
- Analizar problemas de movimiento: distancia total recorrida
- Problemas de movimiento (con integrales definidas)
- Analizar problemas de movimiento (cálculo integral)
- Ejemplo resuelto: problemas de movimiento (integrales definidas)
- Problemas de movimiento (con integrales)
- Aceleración promedio en un intervalo
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Problemas de movimiento (con integrales definidas)
Las integrales definidas son comúnmente usadas para resolver problemas de movimiento, por ejemplo, al razonar sobre la posición de un objeto en movimiento dada cierta información sobre su velocidad. Aprende cómo se hace esto y sobre la diferencia crucial entre velocidad y rapidez.
Los problemas de movimiento son muy comunes en el cálculo. En cálculo diferencial, razonamos sobre la velocidad de un objeto dada su función de posición. En cálculo integral, vamos en la dirección opuesta: dada la función de velocidad de un objeto en movimiento, razonamos sobre su posición o sobre el cambio en su posición.
Pensar sobre velocidad, rapidez e integrales definidas
Digamos que una partícula se mueve en una línea recta con velocidad metros por segundo, donde es el tiempo en segundos.
Que la velocidad sea positiva significa que la partícula se mueve hacia adelante sobre la recta, y que la velocidad sea negativa significa que la velocidad se mueve hacia atrás.
Digamos que se nos pregunta por el desplazamiento de la partícula (es decir, el cambio en su posición) entre segundos y segundos. Como la velocidad es la razón de cambio de la posición de la partícula, cualquier cambio en la posición de la partícula está dado por una integral definida.
Específicamente, buscamos .
Curiosamente, el desplazamiento es metros. (Puedes ver cómo las dos áreas en la gráfica son iguales y de signos opuestos).
Que el desplazamiento sea significa que la partícula ocupa la misma posición en los tiempos y segundos. Esto tiene sentido cuando ves que la partícula primero se mueve hacia adelante y después hacia atrás, regresando a su posición inicial.
Sin embargo, la partícula sí se movió. Digamos que queremos conocer la distancia total que recorrió la partícula, aun cuando terminó en el mismo lugar. ¿Nos pueden ayudar las integrales definidas?
Sí, sí pueden. Para lograrlo, usaremos una manipulación ingeniosa. En vez de trabajar con la velocidad de la partícula, trabajaremos con su rapidez (es decir, el valor absoluto de ).
La rapidez describe qué tan rápido vamos, mientras que la velocidad describe qué tan rápido y en qué dirección. Cuando el movimiento es sobre una recta, la velocidad puede ser negativa, pero la rapidez siempre es positiva (o cero). Así que la rapidez es el valor absoluto de la velocidad.
Ahora que conocemos la rapidez de la partícula en todo momento, podemos encontrar la distancia total que recorrió al calcular la integral definida .
Esta vez el resultado es el valor positivo " metros".
Recuerda: velocidad vs. rapidez
La velocidad es la razón de cambio en la posición, por lo que su integral definida nos da el desplazamiento de un objeto en movimiento.
La rapidez es la razón de cambio de la distancia total, por lo que su integral definida nos da la distancia total recorrida, sin importar la posición.
Encontrar la posición real por medio de integrales definidas y condiciones iniciales
En algunos problemas de movimiento debemos encontrar la posición real de la partícula en cierto instante de tiempo. Recuerda que una integral definida solo nos puede dar el cambio en la posición de la partícula. Para encontrar su posición real, necesitamos usar sus condiciones iniciales.
¿Quieres más práctica? Intenta este ejercicio.
Resumen: tres posibles preguntas en problemas de movimiento que involucran integrales definidas
Los problemas de movimiento requieren integrales definidas cuando se nos da la velocidad de un objeto en movimiento y se nos pide su posición. Hay tres posibles clases de problemas:
Clase | Pregunta típica | Expresión apropiada |
---|---|---|
Desplazamiento | "¿Cuál es el desplazamiento de la partícula entre... y...?" o "¿Cuál es el cambio en la posición de la partícula entre... y...?" | |
Distancia total | "¿Cuál es la distancia que recorre la partícula entre... y...?" | |
Posición real | "¿Cuál es la posición de la partícula en...?" |
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- se les hicieron complicado este tipo de problemas ?(6 votos)
- Cúal es la diferencia entre velocidad y desplazamiento? Me confunde mucho eso aún.(1 voto)
- Muchas gracias muy buena explicacion(1 voto)