Ejemplo resuelto: diferenciar funciones polares

o sea de la función dada por rd de tam igual a 3 teta por el seno de tetas para hacer o menor o igual a teta menor o igual a 2 pin la gráfica de r en coordenadas polares consiste en dos bucles como se muestran en la figura y lo podemos ver aquí cuando teta es igual a cero estamos en el origen después cuando teta empieza a crecer empezamos a trazar este primer bucle de esta manera hasta te da igual la pib es decir trazamos este primer bucle desde t t igual a cero hasta tt igual a pin y ahora el segundo bucle que tiene una r más larga se forma desde 'the wall' la pyme hasta theta igualados pin y si te preguntas por qué no aparece acá abajo la razón es que entre pin y 2 pin el seno de eta esto de aquí va a tomar un valor negativo así que le va a dar la vuelta aérea de este lado y la magnitud de r es cada vez más grande debido a este 3 de eta que está multiplicando por lo tanto cuando te tapa de pib a 2000 trazamos este segundo bucle bien podemos continuar se encuentra en la gráfica de r y el eje y justo aquí lo puedes ver encuentran la tasa de cambio de la coordenada x con respecto a teta en el punto p bien pensemos un poco en esto primero observa que no tenemos a x como una función de teta tenemos que encontrar esa función según lo que nos dan así que vamos a recordar un poco sobre las coordenadas polares si este es nuestro ángulo teta ésta sería nuestra red y así obtenemos un punto en la curva para esta teta pero cómo convertimos eso en xy es bueno construimos un triángulo rectángulo por aquí y si usamos el conocimiento de la trigonometría básica podemos decir que este lado de aquí que forma la base nos da la coordenada x que va a ser igual a la hipotenusa que es r por el coche no de teta si quisiéramos la coordenada que como una función de r y teta me quedaría que ya es igual a r por el seno de teta pero no nos vamos a preocupar por la coordenada james ya que solamente nos piden la corte x bien ya tenemos esto pero ahora tenemos todo en términos de teta así que como la obtengo bueno pues vamos a sustituir toda esta expresión por lo que vale nuestro radio justo aquí y entonces me quedaría que x de teta es igual pero ya sabemos que él es igual a 3 teta por el seno de teta por este coche no detecta que teníamos al final y con esto queremos encontrar la tasa de cambio de la coordenada x con respecto a t está en el punto p por lo tanto encontremos la derivada de x con respecto a theta para encontrar la derivada del producto de tres cosas podemos usar el mismo patrón que la derivada para el producto de dos cosas me quedaría primero la derivada de la primera de las expresiones que es simplemente tres por las otras dos entonces es tres veces el seno de teta por el coseno de teta más y ahora voy a derivar la segunda expresión y esa derivada la multiplicaré por estas otras dos expresiones me quedarán tres tetas por la derivada del seno beteta que es el coche no detecta por otro cosiendo de teta es un me dan tres teta coseno cuadrado de teta ok ahora voy a derivar la tercera expresión ya esta derivada la multiplicada por las otras dos expresiones pero cuidado la derivada del coseno de teta es el menú se note teta así que si multiplicas menos seno de teta por tres tetas por el seno de teta vas a obtener buenos acomodamos menos tres tetas seno cuadrado de teta y habrá que evaluar esto en el punto p ahora cuánto vale te dan en el punto p bueno en el punto p vamos a un cuarto de camino así que puedo decir que en el punto p de tabalet y medios de modo que realmente lo que queremos encontrar es cuánto vale x prima y medios y eso me quedara tres por el seno de pi medios lo cual es simplemente uno por el coseno de primeros lo cual es cero por lo tanto de todo esto me queda simplemente cero más tres primeros por el coseno cuadrado de pi medios lo cual es cero así que todo esto también es cero menos tres primeros por el seno cuadrado depp y medios pero el seno cuadrado de pi medios es uno de manera que esto es simplemente menos tres medios a esto se simplifica todo y tiene sentido decir que la tasa de cambio de x con respecto a theta sea de menos tres primeros bueno pues vamos a pensarlo si teta crece un poco observa que x va a decrecer así que tiene sentido que tengamos este negativo por aquí con esto acabamos el vídeo y nos vemos en el siguiente