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Curso: Algebra II - Preparación Educación Superior > Unidad 3

Lección 4: Dominio y rango de funciones cuadráticas

Problemas sobre dominio y rango de la función cuadrática

Lo que necesitas saber para esta lección

Antes de iniciar esta lección, te sugerimos revisar la siguiente lección que se relaciona con Problemas verbales que involucran ecuaciones y funciones lineales.

Lo que aprenderás en esta lección

En esta lección aprenderás a resolver problemas relacionados al cálculo y análisis del dominio y rango de funciones cuadráticas, en diversos contextos.

Problemas que involucran el dominio y rango de una función cuadrática

Presentamos diversas situaciones que involucran el cálculo, la interpretación y el análisis del dominio y rango de una función cuadrática.

Intenta resolver por tu cuenta cada situación y luego, en caso hayas agotado tus diversas estrategias, analiza con detenimiento las propuesta de resolución de cada situación.

Situación 1

Halla el dominio y rango de la siguiente función:

\begin{array}{r} g (x) = x^{2} - 8 x + 14 \end{array}

Resolución

Para el dominio

Como

g

se representa por un polinomio cuadrático que no está sometido a ninguna condición para

x

, el dominio,

D o m (g)

de la función es

R

. Por tanto,

D o m (g) = R

Para el rango

Podemos obtener el rango de la función (

R a n g (g)

) de forma gráfica o analítica. En esta lección, vamos a hallar el rango de forma analítica. Observa:

Como primer paso, vamos a utilizar la estrategia de completar cuadrados
Cuando se menciona la estrategia de completar cuadrados, típicamente se asocia a obtener un trinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ ‍ de tal forma que este se pueda expresar como un binomio de la forma $(x + d)^{2}$ ‍.
Para completar cuadrados, completamos el trinomio convenientemente (sumando o restando algún valor) para luego obtener el binomio elevado al cuadrado.
Veamos dos ejemplos:
Ejemplo 1: Transformar la expresión $x^{2} + 4 x$ ‍ como el cuadrado de un binomio.
Completamos cuadrados:
$\begin{aligned} x^{2} + 4 x & = \underset{(x + 2)^{2}}{\underset{⏟}{x^{2} + 2 (2) x + 2^{2}}} - 2^{2} \\ = (x + 2)^{2} - 4 \end{aligned}$ ‍
Finalmente, $x^{2} + 4 x = (x + 2)^{2} - 4$ ‍, el cual ha sido transformado utilizando la estrategia de completar cuadrados.
Ejemplo 2: Transformar la expresión $x^{2} - 6 x + 1$ ‍ como el cuadrado de un binomio.
Vamos a completar cuadrados:
$\begin{aligned} x^{2} - 6 x + 1 & = \underset{(x - 3)^{2}}{\underset{⏟}{x^{2} - 2 (3) x + 3^{2}}} - 3^{2} + 1 \\ = (x - 3)^{2} - 8 \end{aligned}$ ‍
Es decir, $x^{2} - 6 x + 1 = (x - 3)^{2} - 8$ ‍ el cual ha sido transformado utilizando la estrategia de completar cuadrados.

\begin{aligned} g (x) = x^{2} - 8 x + 14 & = \underset{(x - 4)^{2}}{\underset{⏟}{x^{2} - 2 (4) x + 4^{2}}} - 4^{2} + 14 \\ = (x - 4)^{2} - 2 \\ g (x) & = (x - 4)^{2} - 2 \end{aligned}

Ahora bien, por propiedad de los números reales, para cualquier valor que toma

A \in R

, se cumple

A^{2} \geq 0

Así, tenemos:

\begin{array}{r} g (x) = (x - 4)^{2} - 2 \Rightarrow \underset{A \geq 0}{\underset{⏟}{(x - 4)^{2}}} - 2 \end{array}

(x - 4)^{2} \geq 0

entonces

\underset{g (x)}{\underset{⏟}{(x - 4)^{2} - 2}} \geq - 2 \Rightarrow g (x) \geq - 2

Finalmente, el

R a n g (g) = [- 2; + \infty [

Situación 2

Halla el dominio y rango de la siguiente función:

\begin{array}{r} f (x) = - x^{2} - 8 x - 11 \end{array}

Resolución

Para el dominio

Como

g

se representa por un polinomio cuadrático que no está sometido a ninguna condición para

x

, el dominio

D o m (f)

de la función es

R

. Por tanto,

D o m (f) = R

Para el rango

Al igual que el caso anterior, vamos a hallar

R a n g (f)

de forma analítica. Observa:

Como primer paso, vamos a utilizar la estrategia de completar cuadrados

\begin{aligned} f (x) = - x^{2} - 8 x - 11 & = - (x^{2} + 8 x) - 11 \\ = - (x^{2} + 2 (4) x + 4^{2} - 4^{2}) - 11 \\ = - ((x + 4)^{2} - 16) - 11 \\ = - (x + 4)^{2} + 16 - 11 \\ = - (x + 4)^{2} + 5 \end{aligned}

Ahora bien, por propiedad de los números reales, para cualquier valor que toma

A \in R

, se cumple

A^{2} \geq 0

. Así, tenemos:

\begin{array}{r} f (x) = - (x + 4)^{2} + 5 \Rightarrow - \underset{A^{2} \geq 0}{\underset{⏟}{(x + 4)^{2}}} + 5 \end{array}

Además, si

A^{2} \geq 0 \Rightarrow - A^{2} \leq 0

Entonces se tiene:

\begin{array}{r} f (x) = \underset{- A^{2} \leq 0}{\underset{⏟}{- (x + 4)^{2}}} + 5 \end{array}

(x + 4)^{2} \leq 0

entonces

\underset{f (x)}{\underset{⏟}{(x + 4)^{2} + 5}} \leq 5 \Rightarrow f (x) \leq 5

Finalmente, el

R a n g (g) =] - \infty; 5]

Situación 3

Calcula el rango de la función

h

, si

x \in [0; 2]

\begin{array}{r} h (x) = 2 x (x + 2) + 8 \end{array}

Resolución

Se observa que los valores de

x

para

h

están sometidas a la condición

x \in [0; 2] \Rightarrow 0 \leq x \leq 2

. De esta condición vamos a determinar los valores para

h (x)

, que representa el rango de la función.

Previamente, vamos a obtener la expresión equivalente para

h

utilizando la estrategia de completar cuadrados. Observa:

Primero obtenemos la expresión equivalente:
$\begin{array}{r} h (x) = 2 x (x + 2) + 8 = 2 x^{2} + 4 x + 8 \end{array}$ ‍
Ahora, completamos cuadrados:
$\begin{aligned} h (x) = 2 x^{2} + 4 x + 8 & = 2 (x^{2} + 2 x) + 8 \\ = 2 (\underset{(x + 1)^{2}}{\underset{⏟}{x^{2} + 2 (1) x + 1^{2}}} - 1^{2}) + 8 \\ = 2 (x + 1)^{2} - 2 + 8 \\ = 2 (x + 1)^{2} + 6 \\ h (x) & = 2 (x + 1)^{2} + 6 \end{aligned}$ ‍

Al igual que el caso anterior, vamos a hallar

R a n g (f)

de forma analítica. Para ello, partimos de la condición que nos da el problema para

x

y buscamos lograr la expresión obtenida para

h

. Observa:

\begin{aligned} 0 \leq x \leq 2 & \Rightarrow 1 + 0 \leq 1 + x \leq 1 + 2 \\ \Rightarrow 1 \leq x + 1 \leq 3 \\ \Rightarrow 1^{2} \leq (x + 1)^{2} \leq 3^{2} \\ \Rightarrow 1 \leq (x + 1)^{2} \leq 9 \\ \Rightarrow 2 \times 1 \leq 2 (x + 2)^{2} \leq 2 \times 9 \\ \Rightarrow 2 \leq 2 (x + 1)^{2} \leq 18 \\ \Rightarrow 2 + 6 \leq 2 (x + 1)^{2} + 6 \leq 18 + 6 \\ \Rightarrow 8 \leq \underset{h (x)}{\underset{⏟}{2 (x + 1)^{2} + 6}} \leq 24 \end{aligned}

Así,

8 \leq h (x) \leq 24

por lo que

R a n g (h) = [8; 24]

Situación 4

Para la función:

f (x) = m x^{2} + 4 m x + 3

, se sabe que su rango es

] - \infty; 4]

¿Cuál es el valor de $m$ ‍?

Resolución

Como se indica que el rango es

] - \infty; 4]

, se tiene que

f (x) \leq 4

. Así, esta función

f

alcanza un máximo de

4

para algún valor de

x

Ahora, vamos a obtener el máximo de

f

que se relaciona con el vértice de la parábola que representa gráficamente a

f

Para las funciones cuadráticas de la forma

h (x) = a x^{2} + b x + c

con

a < 0

, se afirma que

h

tiene un máximo para algún valor de

x

. Una forma de obtener este valor consiste en hallar el vértice de la parábola que representa a la función.

Para la función:

h (x) = a x^{2} + b x + c

el vértice es un par ordenado de la forma

(\frac{- b}{2 a}; h (\frac{- b}{2 a}))

donde

\frac{- b}{2 a}

es el valor que toma

x

h (\frac{- b}{2 a})

es el máximo de la función.

Por ejemplo, para la función

p (x) = - x^{2} + 4 x + 5

, el valor máximo de la función es

(2; 9)

Según la explicación anterior, para la función:

f (x) = m x^{2} + 4 m x + 3

, la coordenada

x

del vértice es igual a

- 2

, entonces hallamos el vértice

(- 2; f (- 2))

de la parábola que representa a la función

f

Observamos que

f (- 2) = 4

puesto que es el mayor valor que adopta el rango de

f

(observa que

f (x) \leq 4

), lo que nos permite plantear la siguiente relación:

\begin{aligned} f (- 2) = & 4 m - 8 m + 3 = 4 \\ m = - \frac{1}{4} \end{aligned}

Obtenemos entonces que el valor de

m

- \frac{1}{4}

Situación 5

Juan tiene

24

metros lineales de alambre para cercar un corral para pollos que tiene forma rectangular.

¿Cuál es la mayor área que puede cercar con los 24 metros lineales de alambre que tiene?

Resolución

Consideramos la información de la situación y asignamos variables a las dimensiones del terreno. Observa la figura:

Ahora, dado que el perímetro es

24 m

y se desea el área máxima, planteamos las siguientes relaciones:

Para el perímetro:
$\begin{aligned} 2 a + 2 b = 24 \Rightarrow & a + b = 12 \\ b = 12 - a \end{aligned}$ ‍
Para el área:
$\begin{aligned} f (a) = a \times b = a \times (12 - a) \\ f (a) = - a^{2} + 12 a \end{aligned}$ ‍

Donde

f (a)

es la función que representa el área del terreno y

a

es la medida de uno de los lados del corral rectangular.

Analizando

f (a) = - a^{2} + 12 a

, se observa que la parábola que representa a la función se abre hacia abajo, por tanto, esta tomará un valor máximo.

Como en el caso anterior, podríamos obtener el máximo de la función

f

mediante la obtención del vértice de la parábola. Sin embargo, en este caso obtendremos el valor máximo en forma analítica, completando cuadrados. Observa:

\begin{aligned} f (a) = - a^{2} + 12 a \Rightarrow f (a) & = - (a^{2} - 12 a) \\ = - (\underset{(a - 6)^{2}}{\underset{⏟}{a^{2} - 2 (6) a + 6^{2}}} - 6^{2}) \\ = - ((a - 6)^{2} - 36) \\ = - (a - 6)^{2} + 36 \\ f (a) & = - (a - 6)^{2} + 36 \end{aligned}

Ahora, dado que

(a - 6)^{2} \geq 0

, se desprende que

- (a - 6)^{2} \leq 0

Entonces:

\begin{aligned} - (a - 6)^{2} \leq 0 \Rightarrow & \underset{f (a)}{\underset{⏟}{- (a - 6)^{2} + 36}} \leq 0 + 36 \\ f (a) \leq 36 \end{aligned}

Por lo tanto, la mayor área que puede cercar con los

24

metros de alambre es

36

m^{2}

Situación 6

Considera la función

f

, cuya regla de correspondencia es

f (x) = x^{2} + p x + q

, que tiene la siguiente gráfica:

¿Cuál es el valor de $p + q$ ‍?

Resolución

Si observamos con mucha atención la parábola representada en el gráfico, se puede afirmar lo siguiente:

La función que representa a la parábola tiene 2 interceptos con el eje de las abscisas. Es decir, existen 2 valores que toma $x$ ‍ de tal forma que se cumpla que $f (x) = 0$ ‍.
Los valores que hacen cero a la función, en este caso $f (x) = 0$ ‍ son denominados raíces de la ecuación $f (x) = x^{2} + p x + q = 0$ ‍.

Ahora bien, en el gráfico observamos que

x = 2

x = 5

son los valores del dominio de

f

que permite obtener los interceptos, por lo tanto, se verifica que:

\begin{aligned} x = 2 \Rightarrow f (2) = 0 \Rightarrow (2)^{2} + p (2) + q = 0 \Rightarrow 2 p + q = - 4 \\ x = 5 \Rightarrow f (5) = 0 \Rightarrow (5)^{2} + p (5) + q = 0 \Rightarrow 5 p + q = - 25 \end{aligned}

Así se forma el sistema de ecuaciones:

{\begin{cases} 2 p + q = - 4 \\ 5 p + q = - 25 \end{cases}

Luego de resolver este sistema se obtiene

q = 10

p = - 7

f (x) = x^{2} - 7 x + 10

Finalmente, podemos afirmar que:

p + q = - 7 + 10 = 3

Situación 7

Mariana tiene una empresa dedicada a fabricar maletas. Su ingreso semanal en dólares por la venta de las maletas está determinado por la función

I (x) = m x^{2} + n x

, donde

x

representa el número de maletas vendidas en una semana. Si se venden 120 maletas en una semana, el ingreso es del

5,760

dólares; además, la venta de

300

maletas semanales genera el ingreso máximo.

¿Cuál es el ingreso que se obtiene en una semana en la que se venden 200 maletas?

Resolución

De los datos de la situación se sabe que si

x = 120

, el valor de

I (120) = 5,760

Así, se plantea la siguiente relación:

\begin{aligned} I (120) = (120)^{2} m + 120 n = 5,760 & \Rightarrow 1,440 m + 12 n = 5,760 \\ \Rightarrow 120 m + n = 48 \end{aligned}

Además, sabemos que con

x = 300

maletas se obtiene el ingreso máximo (que implica

m < 0

). Eso nos permite hallar la primera componente del vértice, ya que este valor permite obtener el máximo de la

I (x)

\begin{array}{r} - \frac{n}{2 m} = 300 \Rightarrow n = - 600 m \end{array}

Reemplazamos esta última equivalencia en la primera ecuación:

\begin{aligned} 120 m + n = 48 \Rightarrow & 120 m - 600 m = 48 \\ - 480 m = 48 \\ m = - \frac{1}{10} \end{aligned}

reemplazando para hallar el valor de

n

\begin{aligned} n = - 600 m \Rightarrow & n = - 600 \times (- \frac{1}{10}) \\ n = 60 \end{aligned}

Por tanto, la función

I

queda expresada de la siguiente forma:

\begin{array}{r} I (x) = - \frac{x^{2}}{10} + 60 x \end{array}

Con esta ecuación obtenemos el ingreso cuando se vendan

x = 200

maletas.

\begin{array}{r} I (200) = - \frac{(200)^{2}}{10} + 60 (200) \Rightarrow I (200) = 8,000 \end{array}

Finalmente obtenemos que el ingreso por la venta de

200

maletas es

8,000

dólares.

Comprueba tu comprensión

Lee con mucho cuidado cada problema y responde correctamente.

Problema 1

Calcula el rango de la función

f

f (x) = x^{2} + 2 x - 3

Problema 2

Calcula el rango de la función

f

g (x) = - 2 x^{2} + x

Problema 3

Calcula el rango de la función

h

, si

x \in [2; 3]

\begin{array}{r} h (x) = (x + 2) (x + 2) - 1 \end{array}

Problema 4

Para la función:

f (x) = n x^{2} - 2 n x + 4

, se sabe que su rango es

] - \infty; 5]

Determina el valor de $n$ ‍.

Problema 5

Paola tiene

20

metros lineales de alambre con los que va a construir la cerca de un corral que tiene forma rectangular.

¿Cuál es la mayor área que puede cercar con los $20$ ‍ metros de alambre?

Problema 6

Considera la función

g

, cuya regla de correspondencia es

g (x) = 3 x^{2} + a x + b

que tiene la siguiente gráfica:

¿Cuál es el valor de $a \times b$ ‍?

Problema 7

Luego de realizar un estudio, se determina que la función

f

dada por

f (x) = - x^{2} + 60 x - 800

expresa la cantidad de estudiantes que puede hacer deporte en un colegio en un día, donde

x

representa la cantidad de horas que en ese día está abierto el colegio.

¿Cuál es el número máximo de estudiantes que puede hacer deporte en el colegio, en un determinado día?

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Danitza
Publicado hace hace 2 años. Enlace directo a la publicación “-Grafique y encuentre el ...” de Danitza
-Grafique y encuentre el dominio y rango de: 4𝑥+𝑦−𝑥2 =2
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Abraham Elias
Publicado hace hace 3 años. Enlace directo a la publicación “En el problema 7 hay dos ...” de Abraham Elias
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