Combinación 2 a 2 de transformaciones: ampliaciones, traslaciones, y rotaciones.

En este video vamos a hablar sobre combinaciones  de transformaciones: homotecias, traslaciones   y rotaciones. Si no te acuerdas de qué es una  homotecia, te recuerdo que es una transformación   que amplía o reduce una figura, conservando las  proporciones. Imagina que en la sala de tu casa   hay un sofá y quieres situarlo al otro lado de  la sala, y con la orientación contraria, como   lo muestra esta pantalla. ¿Qué tendrías que hacer  para lograrlo? Pausa el video y piensa un poco en   ello. Hay muchas formas de llevarlo a cabo, pero  en este video vamos a usar las transformaciones   para hacerlo. Vamos a usar en tu sala este sistema  de coordenadas: un plano coordenado. Este polígono   representa a tu sofá en su posición original; los  vértices exteriores del sofá son A (2,3); B (6,3);   C (6,1) y D (2,1). Para llevarlo a su nueva  posición, primero vamos a rotarlo, de manera que   en su posición final quede de frente. Recuerda  que una rotación es una transformación rígida   que gira la figura sobre un punto sin cambiar su  forma. Vamos a rotar el sofá a 180 grados, pero   tenemos que rotarlo sobre uno de sus vértices.  Elijamos un punto; digamos que es el punto (6,3),   y vamos a hacerlo. Para que quede claro esto,  voy a mostrar cómo rota la figura poco a poco,   cómo pasa de su ubicación original hasta que ha  rotado 180 grados. Observa las coordenadas del   sofá original y del sofá rotado, ¿cómo cambiaron?  La nueva posición del sofá con una rotación   de 180 grados y el punto de rotación (6,3) es A'  (10,3); B' (6,3); C' (6,5); D' (10,5). Muy bien,   ya hicimos la primera transformación, pero  aún no hemos terminado, falta llevarlo al   otro lado de la sala. ¿Qué tenemos que hacer para  lograrlo? Pausa el video y piensa en cómo harías   esto. Muy bien, lo que debemos hacer ahora es  trasladarlo. Recuerda que una traslación es una   transformación rígida en donde la figura cambia  su posición arriba, abajo, izquierda o derecha,   pero no cambia su orientación, tamaño ni forma.  Como queremos llevarlo al otro lado de la sala,   que mide 10 unidades cuadradas, exactamente en  frente de su posición actual, debemos moverlo 1,   2, 3, 4 unidades a la izquierda en el eje X y  1, 2, 3, 4, 5 unidades hacia arriba en el Y,   es decir, haremos un traslado por -4,5. Todas las  coordenadas se moverán igual: -4 sobre el eje X y   5 sobre el eje Y. Voy a señalar el movimiento  con este vector. Recuerda que un vector es un   segmento de recta ordenado. Este vector apunta a  cuatro unidades a la izquierda y cinco unidades   arriba de su origen. Vamos a empezar con A'. A'  se mueve 4 unidades a la izquierda y 5 unidades   hacia arriba, queda aquí. B' se mueve 4 unidades  a la izquierda y 5 unidades hacia arriba, queda   acá. C' se mueve 4 unidades a la izquierda  sobre el eje X y 5 unidades hacia arriba sobre   el eje Y. D' se mueve... adivinaste: 4 unidades a  la izquierda y 5 unidades hacia arriba. Llevamos   el sofá a las nuevas coordenadas. Si observas  con atención, aplicamos varias transformaciones   sucesivas al mismo objeto porque hicimos  una rotación, una traslación en el eje Y y   una traslación en el eje X, así que, casi sin  darnos cuenta, hemos hecho una combinación de   transformaciones geométricas. Muy bien, el sofá ya  quedó en la posición deseada. Ahora, para terminar   de reacomodar la sala, sería muy buena idea poner  un tapete. Tenemos un tapete que mide 5 x 5, como   puedes observar. La proporción es la adecuada,  pero es muy pequeño ya que ahora quieres cubrir   toda el área. Recuerda que la sala mide 10 x 10  unidades. ¿Qué transformaciones necesitas hacer   al tapete para lograr lo que quieres? Pausa  el video e intenta resolverlo. Bien, vamos a   resolverlo juntos. Podemos hacerle una ampliación  al tapete, una homotecia para ampliarlo al tamaño   que queremos. Recuerda que las ampliaciones o  reducciones se realizan aplicando un factor de   ampliación o reducción. ¿Cuál será el factor  que requerimos para ampliar nuestro tapete?,   es decir, si el tapete mide 5 x 5, ¿cuál será  la cantidad por la que tendremos que multiplicar   estas dimensiones para que cubra toda el área  de 10 x 10? Parece que si multiplicamos por 2   obtendremos las dimensiones que deseamos para  el tapete. Veamos: 5 • 2 es 10, funciona, así   que el factor es 2. Vamos a hacerlo. Primero vamos  a ver las coordenadas de cada esquina del tapete:   E (7,6); F (7,1); G (12,1); H (12,6). Para la  ampliación sólo tenemos que multiplicar cada   valor en las coordenadas de las esquinas por 2.  Hagámoslo: E' es 7 • 2 = 14, 6 • 2 = 12, 14,12;   F' es 7 • 2 = 14, 1 • 2 = 2, 14, 2; G' es 12 •  2 = 24, 1 • 2 = 2, 24,2; y H' es 12 • 2 = 24,   6 • 2 = 12, 24,12. Usamos cada una de las nuevas  coordenadas y dibujamos el tapete ampliado. Muy   bien, ya ampliamos el tapete. Pero como puedes  ver nos ha quedado muy lejos de la sala,   hay que llevarlo a la posición que queremos, así  que la última transformación es trasladar esta   figura. En el plano coordenado, un lado de la sala  coincide con el eje Y y forma esquina justo en el   eje X. La esquina inferior izquierda de la sala  tiene coordenadas 0,0, así que queremos mover el   tapete hacia el origen del plano coordenado,  en específico queremos que la esquina F'   quede en el origen. Vamos a dibujar el vector que  representa el movimiento del tapete, es un vector   de 14 unidades a la izquierda y 2 unidades hacia  abajo, desde su origen. Hacemos la traslación,   y listo, ya tenemos el tapete que abarca toda  la sala, y de nuevo hicimos una composición   de transformaciones geométricas. Ampliamos el  tapete y lo trasladamos al lugar que queríamos.