Volumen de una pirámide

Esta vez hablaremos de pirámides, pero no sólo  de las pirámides de Keops, de Chichén Itzá o de   Intihuatana, en Machu Picchu, sino de todas las  pirámides vistas como figuras geométricas. En   estos videos aprenderemos a calcular su volumen,  el área de sus caras y otras cosas ingeniosas,   como la fórmula de Euler que relaciona sus caras,  aristas y vértices. Podemos definir una pirámide   como un poliedro. Recordemos que un poliedro  es una figura en tres dimensiones, donde todas   las caras son planas y todas las aristas son  rectas. Entonces, una pirámide es un poliedro,   donde una de sus caras es una región poligonal  llamada base y las otras caras son regiones   triangulares con un vértice en común. Pero, ¿qué  diferencias hay entre una pirámide y un prisma?   Los prismas también son poliedros, sólo que ellos  tienen dos caras paralelas que son polígonos y se   llaman bases, mientras que el resto de las caras  son paralelogramos y son las caras laterales.   Ahora bien, si es una pirámide regular, es decir,  si la base es un polígono regular y las caras   laterales triángulos isósceles, entonces su nombre  lo define el polígono que forma su base. Por   ejemplo, esta es una pirámide triangular, esta es  una pirámide cuadrangular y esta es una pirámide   pentagonal. Ahora bien, una pirámide consta de  una base, caras laterales, aristas y vértices.   Aquí tenemos una pirámide cuadrangular, es decir,  su base es un cuadrado de lado "L", y vamos a   decir que su altura es la mitad de la longitud  de ese lado, es decir, 1/2 de "L". Ahora bien,   si construimos un cubo cuyo lado es "L" y metemos  dentro de él nuestra pirámide cuadrangular,   observa que la base coincide exactamente con la  base del cuadrado, pero -recuerda- que su altura   es 1/2 de "L", por lo tanto, podemos observar  que el cubo puede contener seis pirámides,   cada una de ellas tiene como base una cara y todas  convergen en el centro del cubo, como muestra el   siguiente dibujo. Entonces, vamos a escribir  que tenemos 6 pirámides. Si sabemos que el   volumen de todo el cubo es "L" al cubo, y también  sabemos que el área de la base es "L" cuadrada   y que la altura de nuestra pirámide es 1/2  de "L", entonces, como tenemos 6 pirámides,   el volumen de cada pirámide es 1/6 de "L" al  cubo, ¿cierto? Pero 1/6 de "L" al cubo es lo   mismo que 1/3 de "L" cuadrada • 1/2 de "L", es  decir, es lo mismo que 1/3 • el área de la base •   la altura de la pirámide. ¡O sorpresa! Después  de manipular un poco estos datos obtenemos esta   expresión que sirve de fórmula para calcular el  volumen de la pirámide. El volumen es igual a 1/3   • el área de la base • la altura de la pirámide.  Aquí "Ab" es el área de la base y "h" es la altura   de la pirámide. Muy bien. ¡Qué emoción! Así  que hagamos ahora este ejemplo. Si tenemos una   pirámide cuadrangular, y sabemos que uno de los  lados de la base mide 10 centímetros y la altura   de la pirámide es de 15 centímetros, entonces  podemos decir que el volumen de la pirámide es...   Pausa el video e inténtalo. Muy bien, utilicemos  la fórmula. El volumen va a ser igual a 1/3 • el   área de la base • la altura, así que primero  calculemos el área de la base. Como sabemos   que es un cuadrado, su área es lado por lado,  o lado al cuadrado, lo que es 10 centímetros,   esto elevado al cuadrado, o 100 centímetros  cuadrados, entonces el volumen será: 1/3 por   100 centímetros cuadrados por 15 centímetros,  lo que es... bueno: 15 / 3 = 5, 5 • 100 = 500,   500 centímetros cúbicos. Y ya está, tenemos  nuestro volumen. Bien, veamos otro ejemplo.   Esta vez tenemos una pirámide pentagonal. Sabemos  que uno de los lados de su base mide 6 metros,   el apotema de la base mide 4 metros y tiene una  altura de 12 metros. Pausa el video e inténtalo.   Primero calculemos el área de la base.  Si recordamos el área de un pentágono es:   perímetro • apotema / 2, es decir, el perímetro  es 5 veces el lado, entonces son 30 metros • 4   metros de apotema nos da 120 metros cuadrados / 2  es 60 metros cuadrados; ésa es el área de la base.   Ahora, al sustituir los valores en la fórmula  del volumen, tenemos que el volumen es igual a un   tercio por el área de la base, que son 60 metros  cuadrados, por la altura, que son 12 metros, eso   nos da 60 / 3 = 20 metros cuadrados • 12 metros  = 240 metros cúbicos. Y hemos acabado. Muy bien,   qué interesante. Hicimos una construcción que nos  permitió aprender a calcular el volumen de las   pirámides. ¡Sensacional! ¿Pero podemos descubrir  más secretos o propiedades de las pirámides?   Te invito a reflexionar en esto. Y aprovecho para  compartir contigo un resultado del gran matemático   Euler que relaciona las caras, vértices y aristas  de una pirámide. Euler propuso que, en una   pirámide, la suma de las caras más los vértices  es igual a la suma de las aristas de la pirámide   más 2. Vamos a verlo en esta pirámide. Tenemos una  pirámide cuadrangular con, bueno, son cinco caras:   la base y los cuatro triángulos laterales, 5  caras; y vemos que tiene 5 vértices: las esquinas   de la base y el vértice de arriba; por último,  vamos a contar las aristas: tenemos 8, cuatro en   la base y cuatro en las caras laterales. Entonces,  utilizando la propuesta de Euler, las caras más   los vértices, es decir 5 + 5, debe de ser igual  a las aristas más dos, es decir 8 + 2, lo cual   es 10. Perfecto, funciona. Esta fórmula funciona  muy bien y le llamamos el Teorema de Euler. Este   teorema puede ser útil de varias maneras, así  que hagamos este otro ejercicio. En esta nueva   situación tenemos 10 aristas y 6 vértices, ahora  queremos saber de qué pirámide se trata a partir   de esta información. ¿Podremos saberlo? Pausa el  video e inténtalo. Bueno, usemos el Teorema de   Euler. Las caras más los vértices es igual a las  aristas más 2; sustituyendo los valores tenemos   que "C", que es nuestra incógnita, más la cantidad  de vértices, que en este caso son 6, es igual al   número de aristas que son 10 más 2, entonces C =  10 + 2 - 6, y esto es igual a 6, entonces, tenemos   6 caras. ¿De qué tipo de pirámide se trata? Bueno,  tal vez estés tentado a decir "De una pirámide   hexagonal", pero piénsalo un poco, necesitamos  una base, ¿cierto?, entonces tenemos una base   y 5 triángulos laterales, es decir, una pirámide  pentagonal. Y lo grandioso del Teorema de Euler es   que funciona para cualquier poliedro. Por ahora,  aquí me despido. Nos vemos en el siguiente video.