Contenido principal

Curso: Cálculo multivariable > Unidad 4

Lección 14: El flujo en tres dimensiones (articulos)

Fujo en 3D. Ejemplo

Después de aprender lo que es un flujo en tres dimensiones, aquí tienes la oportunidad de practicar con un ejemplo.

Antecedentes

Flujo en tres dimensiones
Vector normal unitario
Integral de superficie

Los pasos

En el último artículo, hablé acerca de la manera en la que el flujo de un fluido en movimiento a lo largo de una superficie es una medida de qué tanto fluido pasa por esa superficie por unidad de tiempo. Si ese movimiento de fluido es representado con un campo vectorial

F (x, y, z)

, y si

S

representa la superficie misma, el flujo es calculado con la siguiente integral de superficie:

$\begin{array}{r} \iint_{S} F \cdot \hat{n} d Σ \end{array}$ ‍

La función vectorial

\hat{n} (x, y, z)

da el vector unitario normal a

S

. Para superficies cerradas, comúnmente escoges un vector unitario normal que apunta hacia afuera.

En la práctica, pasan muchas cosas para poder resolver esta integral.

Paso 1: vuelve a escribir la integral en términos de una parametrización de $S$ ‍, como lo harías para cualquier integral de superficie.
Paso 2: mete la expresión para el vector unitario normal $\hat{n} (x, y, z)$ ‍. Es mejor hacerlo antes de que calcules el vector unitario normal ya que parte de esta se cancela con algún término de la integral de superficie.
Paso 3: simplifica los términos dentro de la integral.
Paso 4: Calcula la integral doble.

El problema

Considera la gráfica del paraboloide definido por la siguiente ecuación:

$z = 4 - x^{2} - y^{2}$ ‍

Sea

S

la porción de este paraboloide que está por encima del plano $x y$ ‍:

Wohou, eso acabó pareciéndose mucho más a una bomba nuclear de lo que esperaba. Oh bueno, al menos es claro de qué superficie estamos hablando.

Para integrales de flujo, debemos especificar la orientación de esta superficie. Orientémosla con vectores normales que apunten hacia afuera, es decir, vectores

\hat{i}

\hat{j}

\hat{k}

tales que apunten hacia afuera de la región bajo el paraboloide.

Ahora imagina que hay un fluido moviéndose por ahí en el espacio de tres dimensiones. Digamos que se mueve a lo largo del campo vectorial definido por la función

$\begin{array}{r} F (x, y, z) = [\begin{array}{c} x y \\ x z \\ y z \end{array}] \end{array}$ ‍

Pregunta clave: ¿cuál es el flujo de este fluido moviéndose sobre la superficie $S$ ‍?

Volver a escribir la integral de flujo usando una parametrización. Paso 1

Por ahora, la superficie

S

está definida como una gráfica, sujeta a una restricción en

z

Gráfica: $z = 4 - x^{2} - y^{2}$ ‍

Restricción: $z \geq 0$ ‍

Pero para calcular las integrales de superficie, necesitamos describir esta superficie paramétricamente. Por suerte, esta conversión no es difícil. Básicamente tienes que dejar que un parámetro juegue el papel de

x

, mientras que otro parámetro juega el papel de

y

$\begin{array}{r} v (t, s) = [\begin{array}{c} t \\ s \\ 4 - t^{2} - s^{2} \end{array}] \end{array}$ ‍

Después de escribir esta función, necesitarás especificar qué región del plano

t s

corresponde a nuestra superficie

S

. Esto requiere traducir la restricción

z \geq 0

a una restricción sobre

t

s

Evaluación de conceptos: ¿cuál es la restricción sobre

t

s

que asegurará que la componente

z

\vec{v} (t, s)

sea mayor o igual que

0

? Escribe tu respuesta como una desigualdad.

Ya que la región es un disco con radio

2

, llamémosla

D_{2}

Más adelante ampliaremos esto como un conjunto de límites para

t

s

, pero mientras trabajemos en contexto de la integral, ayuda tener simplemente una representación simbólica.

Si escribimos nuestra integral de flujo como una integral doble en el espacio parametral, obtenemos lo siguiente:

$\begin{aligned} \iint_{S} F \cdot \hat{n} d Σ \\ = \underset{\begin{array}{c} Integral doble en espacio \\ parametral plano \end{array}}{\underset{⏟}{\iint_{D_{2}}}} F (v (t, s)) \cdot \hat{n} (v (t, s)) \underset{d Σ}{\underset{⏟}{| \frac{\partial v}{\partial t} \times \frac{\partial v}{\partial s} | d A}} \end{aligned}$ ‍

Si esta transición a una integral doble en el espacio parametral no te parece familiar, considera revisar el artículo de integrales de superficie, o el de área de superficie.

Insertar la expresión para un vector unitario normal. Paso 2

En un artículo anterior, hablé acerca de la manera en la que puedes encontrar una función que te de el vector unitario normal a una superficie basada en su parametrización

v (t, s)

. Básicamente, normalizas el producto cruz de las derivadas parciales de $v (t, s)$ ‍ (caray, suena muy complicado):

$\begin{array}{r} \frac{\frac{\partial v}{\partial t} \times \frac{\partial v}{\partial s}}{| \frac{\partial v}{\partial t} \times \frac{\partial v}{\partial s} |} \end{array}$ ‍

Ahora, para los que aman calcular la magnitud del producto cruz entre vectores de derivadas parciales, esperen un momento. Cuando metemos esto en la integral de flujo, el término de la magnitud se cancela:

$\begin{aligned} \iint_{D_{2}} F (v (t, s)) \cdot \hat{n} (v (t, s)) | \frac{\partial v}{\partial t} \times \frac{\partial v}{\partial s} | d A \\ = \iint_{D_{2}} F (v (t, s)) \cdot (\frac{\frac{\partial v}{\partial t} \times \frac{\partial v}{\partial s}}{| \frac{\partial v}{\partial t} \times \frac{\partial v}{\partial s} |}) | \frac{\partial v}{\partial t} \times \frac{\partial v}{\partial s} | d A \\ = \iint_{D_{2}} F (v (t, s)) \cdot (\frac{\frac{\partial v}{\partial t} \times \frac{\partial v}{\partial s}}{| \frac{\partial v}{\partial t} \times \frac{\partial v}{\partial s} |}) | \frac{\partial v}{\partial t} \times \frac{\partial v}{\partial s} | d A \\ = \iint_{D_{2}} F (v (t, s)) \cdot (\frac{\partial v}{\partial t} \times \frac{\partial v}{\partial s}) d A \end{aligned}$ ‍

Esto está un poco detallado, pero te genera una intuición muy satisfactoria una vez que lo mentalizas.

Recuerda la idea intuitiva detrás de una integral de flujo: Dividimos la superficie

S

en muchas partes pequeñas, y vemos qué tanto fluido se mueve a a través de cada una de ellas por unidad de tiempo:

Contenedor video de Khan Academy

Ver la transcripción del video

Generalmente, pensamos en estas pequeñas partes del área como paralelogramos, generados por dos vectores infinitesimales

(\frac{\partial v}{\partial t} d t)

(\frac{\partial v}{\partial s} d s)

Como esta pieza es muy pequeña, podemos asumir que todo el fluido de partículas que pasan por ella se mueve básicamente con el mismo vector de velocidad,

F (\vec{v} (t, s))

para algún punto

(t, s)

que está dentro de la pieza. Esto quiere decir que el volumen formado por el fluido que pasa a través de esta pieza forma un paralelepípedo (¡mi palabra favorita!), que es lo análogo a un paralelogramo en tres dimensiones.

Supongamos que el paralelepípedo representa el fluido que pasa a través del paralelogramo en una unidad de tiempo. Entonces para encontrar su volumen, querrás multiplicar el área del paralelogramo por la componente del vector $F (\vec{v} (t, s))$ ‍ que es perpendicular a ese paralelogramo. Pero piensa en lo que representa un producto cruz:

$(\frac{\partial v}{\partial t} d t) \times (\frac{\partial v}{\partial s} d s)$ ‍

Da un vector perpendicular al paralelogramo, cuya magnitud es el área de dicho paralelogramo. Entonces cuál es el significado de este producto punto:

$F (\vec{v} (t, s)) \cdot (\frac{\partial v}{\partial t} d t \times \frac{\partial v}{\partial s} d s)$ ‍

Dará la componente de

F (\vec{v} (t, s))

que es perpendicular al paralelogramo, multiplicado por el área de ese paralelogramo. ¡Pero esto es exactamente el volumen que queremos!

Cuando sacas los términos

d t

d s

, cuyo producto es

d A

, obtienes la integral que está abajo después de cancelar la norma del producto cruz.

$\begin{array}{r} \iint_{D_{2}} F (v (t, s)) \cdot (\frac{\partial v}{\partial t} \times \frac{\partial v}{\partial s}) d A \end{array}$ ‍

Desarrollar el integrando. Paso 3

Comencemos por simplificar el término del producto cruz:

$\frac{\partial v}{\partial t} \times \frac{\partial v}{\partial s}$ ‍

Recuerda, así es como definí

v (t, s)

$\begin{array}{r} v (t, s) = [\begin{array}{c} t \\ s \\ 4 - t^{2} - s^{2} \end{array}] \end{array}$ ‍

Ahora calcula cada derivada parcial, después encuentra su producto cruz.

$\frac{\partial v}{\partial t} =$ ‍
$\hat{i} +$ ‍
$\hat{j} +$ ‍
$\hat{k}$ ‍

$\frac{\partial v}{\partial s} =$ ‍
$\hat{i} +$ ‍
$\hat{j} +$ ‍
$\hat{k}$ ‍

$\frac{\partial v}{\partial t} \times \frac{\partial v}{\partial s} =$ ‍
$\hat{i} +$ ‍
$\hat{j} +$ ‍
$\hat{k}$ ‍

Para calcular el producto cruz, utiliza el truco habitual del determinante, donde la ${2.}^{a}$ ‍ y la ${3.}^{a}$ ‍ filas son las respuestas de las dos preguntas anteriores:
$\begin{array}{r} det ([\begin{array}{ccc} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 0 & - 2 t \\ 0 & 1 & - 2 s \end{array}]) \end{array}$ ‍
Para la componente $\hat{i}$ ‍ , elimina el renglón de hasta arriba y la columna de la izquierda, después calcula el determinante.
$\begin{array}{r} det ([\begin{array}{cc} 0 & - 2 t \\ 1 & - 2 s \end{array}]) = (0) (- 2 s) - (- 2 t) (1) = 2 t \end{array}$ ‍
Para la componente $\hat{j}$ ‍, elimina la primer fila y la columna de la mitad, luego calcula el determinante negativo:
$\begin{array}{r} - det ([\begin{array}{cc} 1 & - 2 t \\ 0 & - 2 s \end{array}]) = - ((- 2 s) (1) - (- 2 t) (0)) = 2 s \end{array}$ ‍
Finalmente, para la componente $\hat{k}$ ‍, elimina la fila de hasta arriba y la última columna, luego calcula el determinante:
$\begin{array}{r} det ([\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]) = 1 \end{array}$ ‍

Evaluación de conceptos: ¿la expresión para

\frac{\partial v}{\partial t} \times \frac{\partial v}{\partial s}

que acabas de encontrar da un vector normal que apunta hacia afuera o hacia adentro?

Escoge 1 respuesta:
(Elección A)
Viendo hacia afuera
(Elección B)
Viendo hacia adentro

La mejor manera de averiguarlo es metiendo un valor de entrada específico. El valor de entrada más sencillo probablemente es $(t, s) = (0, 0)$ ‍, que corresponde a la parte superior de la superficie de nuestro paraboloide:
$\begin{array}{r} [\begin{array}{c} 2 t \\ 2 s \\ 1 \end{array}] \to [\begin{array}{c} 2 (0) \\ 2 (0) \\ 1 \end{array}] \to [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}] \end{array}$ ‍
Este es un vector que apunta hacia arriba, que está fuera de la región encerrada por el paraboloide. Por lo tanto, es un vector que apunta hacia afuera. Si no lo fuera, necesitaríamos cambiar el signo de nuestra integral de superficie.

Ahora, escribamos el término

F (v (t, s))

en términos de

t

s

únicamente. Recuerda, así es como se definen

F

\vec{v}

$\begin{aligned} F (x, y, z) = [\begin{array}{c} x y \\ x z \\ y z \end{array}] & v (t, s) = [\begin{array}{c} t \\ s \\ 4 - t^{2} - s^{2} \end{array}] \end{aligned}$ ‍

$F (v (t, s)) =$ ‍
$\hat{i} +$ ‍
$\hat{j} +$ ‍
$\hat{k}$ ‍

¡Excelente! Ahora tenemos todas las piezas para la parte interna de nuestra integral.

$\begin{array}{r} \iint_{D_{2}} F (v (t, s)) \cdot (\frac{\partial v}{\partial t} \times \frac{\partial v}{\partial s}) d A \end{array}$ ‍

Tomando el producto punto de las dos respuestas anteriores, escribe la parte interna de esta integral en términos de los parámetros

t

s

únicamente. Esto ayudará a calcular la integral en la siguiente sección si simplificas tu respuesta lo más posible.

$\iint_{D_{2}}$ ‍
$d A$ ‍

Calcular la integral. Paso 4

Hasta este punto, hemos escrito siempre una pequeña

D_{2}

debajo de la doble integral para indicar que la región del plano

t s

sobre la que integraremos es el disco de radio

2

. Ahora, como pasamos a calcular la integral misma, necesitamos expresar esto en términos concretos de límites para los parámetros

t

s

Para hacer esto, dibuja una imagen de

D_{2}

e imagina que la cortas en rayas verticales:

El valor de

t

varía de

- 2

2

. El rango sobre el que

s

varía depende del valor de

t

, el cual puedes encontrar usando el teorema de Pitágoras.

Del diagrama puedes ver que

s

varía de

- \sqrt{4 - t^{2}}

+ \sqrt{4 - t^{2}}

. Aplicando estos límites a nuestra integral doble, esto es lo que obtenemos:

$\begin{array}{r} \int_{0}^{2} \int_{- \sqrt{4 - t^{2}}}^{+ \sqrt{4 - t^{2}}} s (2 t^{2} + (2 t + 1) (4 - t^{2} - s^{2})) d s d t \end{array}$ ‍

Desde aquí, hay algunas maneras en las que podrías terminar el problema

Dolorosamente: Calculando esta doble integral completa a mano (¡ush!).
Pragmáticamente: mete esto en una calculadora o una herramienta de álgebra para la computadora como Wolfram Alpha.
Inteligentemente: puedes reconocer que el integrando es una función impar con respecto a $s$ ‍. Distribuye $s$ ‍, y nota que todos los términos tienen una $s$ ‍ o una $s^{3}$ ‍. Esto quiere decir que la integral de adentro en la porción que va de $- \sqrt{4 - t^{2}}$ ‍ a $0$ ‍ se cancelará con la porción que va de $0$ ‍ a $\sqrt{4 - t^{2}}$ ‍. Por lo tanto, la integral completa es $0$ ‍.

Resumen

Una integral de flujo comienza viéndose así:

$\begin{array}{r} \iint_{S} F \cdot \hat{n} d Σ \end{array}$ ‍

Resolver esto implica los siguientes cuatro pasos:

Paso 1: Parametriza la superficie, y traduce esta integral de superficie a una integral doble sobre el espacio parametral.
Paso 2: Aplica la fórmula para un vector unitario normal.
Paso 3: simplifica el integrando, que involucra dos derivadas parciales vectoriales, un producto cruz y un producto punto.
Paso 4: Calcula la integral doble (en la práctica una computadora puede hacerse cargo desde aquí).

¿Quieres unirte a la conversación?

Inicia sesión

Ordenar por:

Sin publicaciones aún.

¿Sabes inglés? Haz clic aquí para ver más discusiones en el sitio en inglés de Khan Academy.