Introducción a las funciones inversas

Funciones inversas, en el sentido más general, son funciones que "revierten" una a la otra.

Por ejemplo, aquí vemos que la función $f$‍ convierte $1$‍ en $x$‍, $2$‍ en $z$‍, y $3$‍ en $y$‍.

La inversa de $f$‍, que se denota como $f^{-1}$‍ (y se lee como "$f$‍ inversa"), revierte este mapeo. La función $f^{-1}$‍ convierte $x$‍ en $1$‍, $y$‍ en $3$‍, y $z$‍ en $2$‍.

En general, si una función $f$‍ convierte $a$‍ en $b$‍, entonces la función inversa, $f^{-1}$‍, convierte $b$‍ en $a$‍.

Con esto tenemos la definición formal de funciones inversas:

Profundicemos más en esta definición mediante algunos ejemplos.

Supongamos que la función $h$‍ está definida con el diagrama de mapeo que está arriba. ¿Qué es $h^{-1}(9)$‍?

Tenemos esta información acerca de la función $h$‍, y nos preguntan acerca de la función $h^{-1}$‍. Puesto que las funciones inversas revierten la una a la otra, necesitamos revertir nuestro razonamiento.

Específicamente, para encontrar $h^{-1}(9)$‍, podemos encontrar el valor de entrada de $h$‍ para el cual el valor de salida es $9$‍. Esto es así porque si $h^{-1}(9)=x$‍, entonces por la definición de inversas, $h(x)=9$‍.

A partir del diagrama de mapeo, vemos que $h(6)=9$‍, así que $h^{-1}(9)=6$‍.

Esta es la gráfica de la función $g$‍. Encontremos $g^{-1}(-7)$‍.

Para encontrar $g^{-1}(-7)$‍, podemos encontrar el valor de entrada de $g$‍ que corresponde a un valor de salida de $-7$‍. Esto es así porque si $g^{-1}(-7)=x$‍, entonces por la definición de inversas, $g(x)=-7$‍.

De la gráfica, vemos que $g(-3)=-7$‍.

Por lo tanto, $g^{-1}(-7)=-3$‍.

Los ejemplos anteriores nos han mostrado la conexión algebraica entre una función y su inversa; pero ¡hay también una conexión gráfica!

Considera la función $f$‍, dada con la siguiente gráfica y tabla de valores.

Podemos revertir las entradas y salidas de $f$‍ para encontrar las entradas y salidas de $f^{-1}$‍. Si $(a,b)$‍ está en la gráfica de $y=f(x)$‍, entonces $(b,a)$‍ estará en la gráfica de $y=f^{-1}(x)$‍.

Con esto tenemos la gráfica y la tabla de valores de $f^{-1}$‍.

Viendo ambas gráficas juntas, observamos que la gráfica de $y=f(x)$‍ y la gráfica de $y=f^{-1}(x)$‍ son reflexiones a lo largo de la recta $y=x$‍.

Esto es cierto en general: la gráfica de una función y de su inversa son reflexiones a lo largo de la recta $y=x$‍.

Parece ser arbitrario estar interesados en funciones inversas, pero de hecho ¡las usamos todo el tiempo!

Considera que la ecuación $C={\displaystyle \frac{5}{9}}(F-32)$‍ sirve para convertir la temperatura en grados Fahrenheit, $F$‍, a la temperatura en grados Celsius, $C$‍.

Pero supongamos que quisiéramos una ecuación que haga lo contrario: que convierta de temperatura en grados Celsius a temperatura en grados Fahrenheit. Eso es lo que describe a la función $F={\displaystyle \frac{9}{5}}C+32$‍, o sea la función inversa.

A un nivel más básico, en matemáticas resolvemos muchas ecuaciones al "aislar la variable". Cuando aislamos la variable, "deshacemos" lo que está a su alrededor. De esta manera, estamos utilizando la idea de funciones inversas para resolver ecuaciones.